From Stick to Bounce — the Coefficient of Restitution
Zwei gleich große Kugeln liegen in einer geraden Rille auf einem Labortisch. Kugel A gleitet ohne zu rollen von links auf Kugel B zu, die ruhen, A entgegengleiten oder vor ihr herlaufen kann. Fünf Schieberegler stellen die beiden Massen, die beiden Geschwindigkeiten und die Stoßzahl e ein und mit e das Material der Kugeln: stumpfe Knetmasse bei e = 0, Gummi in der Mitte, polierter Stahl bei e = 1. Pfeile zeigen die Geschwindigkeit jeder Kugel, eine Klammer vor der Rille zeigt, wie schnell sich die Lücke zwischen ihnen schließt und wieder öffnet, und ein Diagramm verfolgt, wie viel kinetische Energie bei jedem Wert von e verloren geht. Drücken Sie auf Abspielen, und der Stoß läuft einmal ab, achtmal langsamer als in Wirklichkeit und mit den Tempotasten noch langsamer; die Zeitleiste führt zu jedem beliebigen Moment zurück.
So benutzt du diese Simulation
- Masse von A, mA — 0,5 bis 3,0 kg, Start bei 1,0 kg.
- Geschwindigkeit von A, vA — +1,0 bis +6,0 m/s (nach rechts), Start bei +4,0 m/s.
- Masse von B, mB — 0,5 bis 3,0 kg, Start bei 1,5 kg.
- Geschwindigkeit von B, vB — −4,0 bis +2,0 m/s, Start bei 0 (in Ruhe); negativ heißt nach links, auf A zu.
- Stoßzahl e — 0 (die Kugeln haften aneinander) bis 1 (vollkommen elastisch), Start bei 0,25; das Material der Kugeln ändert sich mit. Eine Änderung lässt die Zeitleiste, wo sie ist.
- Abspielen/Pause, zurück zum Anfang, eine Zeitleiste, die sich zu jedem beliebigen Moment ziehen lässt, und Zeitlupe ½×, ¼×, ⅛×. Bei 1× läuft der Stoß schon achtmal langsamer als in Wirklichkeit, ⅛× zeigt das Zusammendrücken also 64-mal langsamer.
- Ziehen Sie auf der Szene, um sich umzusehen.
Worauf du achten solltest
- Mit den Startwerten schließt sich die Lücke mit 4,0 m/s und öffnet sich mit 1,0 m/s; A gleitet mit +1,0 m/s weiter, B mit +2,0 m/s, und von 8,0 J gehen 4,5 J verloren.
- Bei e = 0 haften die Knetkugeln aneinander und gleiten gemeinsam mit 1,6 m/s weiter; es gehen 4,8 J verloren, so viel wie bei diesem Stoß überhaupt möglich.
- Bei e = 1 prallt A mit −0,80 m/s zurück und B gleitet mit +3,2 m/s davon; die 8,0 J kinetische Energie sind vollständig erhalten.
- Schicken Sie B mit −2,0 m/s auf A zu: Jetzt nähern sie sich mit 6,0 m/s, A prallt mit −0,50 m/s zurück, und von 11 J gehen 10,1 J verloren — der Impuls beträgt dennoch vorher und nachher +1,0 kg m/s.
- Beobachten Sie bei ⅛× das Zusammendrücken: Die bleibende Delle jeder Kugel wird kleiner, je größer e ist (Knetmasse behält ihre Delle, Stahl wird wieder vollkommen rund), und der Punkt im Diagramm wandert auf der Kurve ½μ(vA − vB)²(1 − e²).
- Stellen Sie vA kleiner als vB ein: Die Karte meldet, dass es keinen Stoß gibt; A holt B nie ein, und nichts geht verloren.
- Ziehen Sie die Zeitleiste durch die Berührung: Die Kugeln flachen sich ab, solange die Lücke geschlossen ist, und bei der stärksten Stauchung bewegen sie sich einen Augenblick lang gleich schnell.
Die Physik dahinter
Nach rechts ist positiv. Der Impulserhaltungssatz allein reicht nicht für zwei unbekannte Geschwindigkeiten, deshalb kommt eine zweite Gleichung hinzu, die Stoßzahlgleichung v′A − v′B = −e(vA − vB): Die Kugeln nähern sich mit vA − vB und trennen sich mit dem e-Fachen davon. Mit den Startwerten (1,0 kg mit +4,0 m/s gegen 1,5 kg in Ruhe, e = 0,25) ergibt sie zusammen mit 1,0 × 4,0 = 1,0 v′A + 1,5 v′B die Werte v′A = +1,0 m/s und v′B = +2,0 m/s. Die kinetische Energie fällt von 8,0 J auf 0,5 + 3,0 = 3,5 J, es gehen also 4,5 J verloren. Im Modell speichern die zusammengedrückten Kugeln die gesamte relative kinetische Energie ½μ(vA − vB)² mit μ = mA mB/(mA + mB) und geben davon nur den Anteil e² zurück, sodass der Verlust ½μ(vA − vB)²(1 − e²) beträgt: 4,8 J bei e = 0, wenn die Knetkugeln aneinander haften und mit 1,6 m/s weitergleiten, und nichts bei e = 1, wenn A mit 0,80 m/s zurückprallt und B mit 3,2 m/s davongleitet. Massen und Geschwindigkeiten bestimmen, wie viel Energie verloren gehen kann; e allein bestimmt den verlorenen Anteil. Der Impuls ist bei jeder Einstellung vorher und nachher gleich, und ist A nicht schneller als B, schließt sich die Lücke nie und es gibt keinen Stoß.