From Stick to Bounce — the Coefficient of Restitution
Dos bolas del mismo tamaño reposan en una ranura recta sobre una mesa de laboratorio. La bola A se desliza sin girar desde la izquierda hacia la bola B, que puede esperar en reposo, deslizarse hacia A o ir por delante de ella. Cinco deslizadores fijan las dos masas, las dos velocidades y el coeficiente de restitución e y, con e, el material de las bolas: masilla mate con e = 0, goma en el medio y acero pulido con e = 1. Las flechas muestran la velocidad de cada bola, un corchete delante de la ranura muestra lo rápido que se cierra y vuelve a abrirse el hueco entre ellas, y una gráfica sigue cuánta energía cinética se pierde con cada valor de e. Pulse reproducir y el choque se reproduce una sola vez, ocho veces más lento que en la realidad y aún más lento con los botones de velocidad; la línea de tiempo lleva a cualquier instante.
Cómo usar esta simulación
- Masa de A, mA — de 0,5 a 3,0 kg, empezando en 1,0 kg.
- Velocidad de A, vA — de +1,0 a +6,0 m/s (hacia la derecha), empezando en +4,0 m/s.
- Masa de B, mB — de 0,5 a 3,0 kg, empezando en 1,5 kg.
- Velocidad de B, vB — de −4,0 a +2,0 m/s, empezando en 0 (en reposo); negativa significa hacia la izquierda, hacia A.
- Coeficiente de restitución e — de 0 (las bolas se pegan) a 1 (perfectamente elástico), empezando en 0,25; el material de las bolas cambia con él. Un cambio deja la línea de tiempo donde está.
- Reproducir/pausa, volver al inicio, una línea de tiempo que puede arrastrar a cualquier instante y cámara lenta ½×, ¼×, ⅛×. A 1× el choque ya va ocho veces más lento que en la realidad, así que ⅛× muestra la compresión 64 veces más lenta.
- Arrastre sobre la escena para mirar alrededor.
Qué observar
- Con los valores iniciales el hueco se cierra a 4,0 m/s y se abre a 1,0 m/s; A sale a +1,0 m/s y B a +2,0 m/s, y se pierden 4,5 J de los 8,0 J.
- Con e = 0 las bolas de masilla se pegan y siguen juntas a 1,6 m/s, perdiendo 4,8 J, lo máximo que puede perder este choque.
- Con e = 1 A rebota a −0,80 m/s y B sale a +3,2 m/s; los 8,0 J de energía cinética siguen ahí.
- Lance B hacia A a −2,0 m/s: ahora se acercan a 6,0 m/s, A rebota a −0,50 m/s y se pierden 10,1 J de los 11 J; aun así, la cantidad de movimiento es +1,0 kg m/s antes y después.
- A ⅛× observe la compresión: la abolladura que queda en cada bola se reduce al crecer e (la masilla conserva su abolladura, el acero vuelve a quedar perfectamente redondo) y el punto de la gráfica recorre la curva ½μ(vA − vB)²(1 − e²).
- Ponga vA por debajo de vB y la tarjeta indica que no hay choque: A nunca alcanza a B y no se pierde nada.
- Arrastre la línea de tiempo a través del contacto: las bolas se aplanan mientras el hueco está cerrado y, en la compresión máxima, se mueven por un instante a la misma velocidad.
La física detrás
Tome como positivo el sentido hacia la derecha. La conservación de la cantidad de movimiento sola no basta para hallar dos velocidades desconocidas, así que se añade una segunda ecuación, la de restitución, v′A − v′B = −e(vA − vB): las bolas se acercan a vA − vB y se separan a e veces esa rapidez. Con los valores iniciales (1,0 kg a +4,0 m/s contra 1,5 kg en reposo, e = 0,25), resolverla junto con 1,0 × 4,0 = 1,0 v′A + 1,5 v′B da v′A = +1,0 m/s y v′B = +2,0 m/s. La energía cinética baja de 8,0 J a 0,5 + 3,0 = 3,5 J, así que se pierden 4,5 J. En el modelo, las bolas comprimidas almacenan toda la energía cinética relativa, ½μ(vA − vB)² con μ = mA mB/(mA + mB), y solo devuelven la fracción e², de modo que la pérdida es ½μ(vA − vB)²(1 − e²): 4,8 J con e = 0, cuando las bolas de masilla se pegan y siguen a 1,6 m/s, y nada con e = 1, cuando A rebota a 0,80 m/s y B sale a 3,2 m/s. Las masas y las velocidades deciden cuánta energía hay para perder; solo e fija la fracción que se pierde. La cantidad de movimiento es la misma antes y después con cualquier ajuste, y si A no es más rápida que B el hueco nunca se cierra y no hay choque.