صيغة أويلر التفاعلية
تربط صيغة أويلر بين الدوال الأسية والأعداد المركّبة وحساب المثلثات في سطر واحد. تُظهر هذه المحاكاة السبب: مع تقدّم الزاوية تسير النقطة e^(iθ) حول دائرة الوحدة، بينما يرسم ظلّها على كل محور جيب تمام وجيبًا.
كيف تستخدم هذه المحاكاة
- قدّم الزاوية θ وشاهد النقطة تسير
- أسقطها على المحورين الحقيقي والتخيلي
- اعرض منحنيي الجيب وجيب التمام الناتجين فوق بعضهما
ما الذي تلاحظه
- النقطة لا تغادر دائرة الوحدة أبدًا لأن مقياسها يساوي 1 دائمًا
- ظلّها الأفقي يرسم جيب تمام، والرأسي يرسم جيبًا
- عند θ = π تستقر النقطة على −1 بالضبط
الفيزياء وراءها
تنص صيغة أويلر على أن e^(iθ) = cosθ + i·sinθ. والضرب في e^(iθ) دوران بمقدار θ في المستوى المركّب، ولهذا تتحرك النقطة على دائرة الوحدة. ووضع θ = π يعطي المتطابقة الشهيرة e^(iπ) + 1 = 0 التي تجمع خمسة من أهم ثوابت الرياضيات.