From Stick to Bounce — the Coefficient of Restitution
كرتان متساويتان في الحجم في مجرى مستقيم على منضدة مختبر. تنزلق الكرة A من اليسار دون أن تدور نحو الكرة B، التي قد تكون ساكنة أو منزلقة نحو A أو سابقة لها. تضبط خمسة مزالق الكتلتين والسرعتين ومعامل الارتداد e — ومعه مادة الكرتين: معجون باهت عند e = 0، ومطاط في الوسط، وفولاذ مصقول عند e = 1. تبيّن الأسهم سرعة كل كرة، ويبيّن قوس أمام المجرى سرعة انغلاق الفجوة بينهما ثم انفتاحها، ويتتبع رسم بياني مقدار الطاقة الحركية المفقودة عند كل قيمة لـe. اضغط زر التشغيل فيُعرض التصادم مرة واحدة، أبطأ من الواقع ثماني مرات وأبطأ من ذلك بأزرار سرعة التشغيل، ويعيدك الشريط الزمني إلى أي لحظة.
كيف تستخدم هذه المحاكاة
- «كتلة A، mA» — من 0.5 إلى 3.0 كجم، وتبدأ عند 1.0 كجم
- «سرعة A، vA» — من +1.0 إلى +6.0 م/ث (نحو اليمين)، وتبدأ عند +4.0 م/ث
- «كتلة B، mB» — من 0.5 إلى 3.0 كجم، وتبدأ عند 1.5 كجم
- «سرعة B، vB» — من −4.0 إلى +2.0 م/ث، وتبدأ عند الصفر (ساكنة)؛ والسالب يعني الحركة نحو اليسار، أي نحو A
- «معامل الارتداد e» — من 0 (تلتصق الكرتان) إلى 1 (تصادم مرن تمامًا)، ويبدأ عند 0.25؛ وتتغير مادة الكرتين معه. التغيير يُبقي الشريط الزمني حيث هو
- تشغيل/إيقاف مؤقت، والعودة إلى البداية، وشريط زمني يمكنك سحبه إلى أي لحظة، وحركة بطيئة ½× ¼× ⅛× (عند 1× يجري التصادم أصلًا أبطأ من الواقع ثماني مرات، فتعرض ⅛× الانضغاط أبطأ 64 مرة)
- اسحب في أي مكان من المشهد لتنظر حوله
ما الذي تلاحظه
- عند القيم الابتدائية تنغلق الفجوة بسرعة 4.0 م/ث وتنفتح بسرعة 1.0 م/ث؛ تنطلق A بسرعة +1.0 م/ث وB بسرعة +2.0 م/ث، ويُفقد 4.5 جول من 8.0 جول
- عند e = 0 تلتصق كرتا المعجون وتمضيان معًا بسرعة 1.6 م/ث، فيُفقد 4.8 جول، وهو أكبر ما يمكن أن يُفقد في هذا التصادم
- عند e = 1 ترتد A بسرعة −0.80 م/ث وتنطلق B بسرعة +3.2 م/ث، وتبقى الطاقة الحركية 8.0 جول كاملة
- أرسل B نحو A بسرعة −2.0 م/ث: تقتربان الآن بسرعة 6.0 م/ث، فترتد A بسرعة −0.50 م/ث ويُفقد 10.1 جول من 11 جول — ومع ذلك تبقى كمية الحركة +1.0 كجم·م/ث قبل التصادم وبعده
- عند ⅛× راقب الانضغاط: يصغر الانبعاج الباقي على كل كرة كلما زادت e — يحتفظ المعجون بانبعاجه، ويعود الفولاذ كرويًا تمامًا — وتتحرك النقطة على الرسم فوق المنحنى ½μ(vA − vB)²(1 − e²)
- اجعل vA أقل من vB فتُظهر البطاقة أنه لا تصادم: لا تلحق A بـB أبدًا، ولا يُفقد شيء
- اسحب الشريط الزمني عبر لحظة التلامس: تتفلطح الكرتان ما دامت الفجوة مغلقة، وعند أقصى انضغاط تتحركان بالسرعة نفسها لحظةً واحدة
الفيزياء وراءها
خذ اتجاه اليمين موجبًا. لا يكفي حفظ كمية الحركة وحده لإيجاد سرعتين مجهولتين، فتُضاف معادلة ثانية هي معادلة الارتداد v′A − v′B = −e(vA − vB): تقترب الكرتان بسرعة vA − vB وتفترقان بسرعة تساوي e مضروبًا فيها. وعند القيم الابتدائية (1.0 كجم بسرعة +4.0 م/ث نحو 1.5 كجم ساكنة، وe = 0.25) يعطي حلّها مع 1.0 × 4.0 = 1.0 v′A + 1.5 v′B أن v′A = +1.0 م/ث وv′B = +2.0 م/ث. تهبط الطاقة الحركية من 8.0 جول إلى 0.5 + 3.0 = 3.5 جول، فيُفقد 4.5 جول. وفي النموذج تختزن الكرتان المنضغطتان الطاقة الحركية النسبية كلها، ½μ(vA − vB)² حيث μ = mA mB/(mA + mB)، ولا تعيدان منها إلا الجزء e²، فيكون الفقد ½μ(vA − vB)²(1 − e²): 4.8 جول عند e = 0 حين تلتصق كرتا المعجون وتمضيان بسرعة 1.6 م/ث، ولا شيء عند e = 1 حين ترتد A بسرعة 0.80 م/ث وتنطلق B بسرعة 3.2 م/ث. فالكتلتان والسرعتان تحدد مقدار الطاقة القابلة للفقد، أما e وحده فيحدد النسبة التي تُفقد منها. وتبقى كمية الحركة قبل التصادم وبعده متساوية عند كل ضبط، وإذا لم تكن A أسرع من B لا تنغلق الفجوة أبدًا ولا يقع تصادم.