Combining Two Perpendicular Motions
Un stylo est promené bien droit sur une feuille de papier le long d'une règle tandis que la feuille elle-même est tirée perpendiculairement à ce mouvement. Aucune des deux mains ne se déplace en oblique, et pourtant le trait laissé sur le papier est oblique. La simulation trace le trait en direct, le marque à intervalles de temps égaux et déploie les deux mouvements comme les côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le trait lui-même.
Comment utiliser cette simulation
- Fixez la vitesse du stylo sur la feuille et celle à laquelle la feuille est tirée — les deux restent actives pendant le tracé
- Lancez, mettez en pause et réinitialisez le tracé, ou jouez-le à demi-vitesse, vitesse normale ou double
- Affichez ou masquez les vecteurs vitesse, le triangle des déplacements, les repères temporels et le quadrillage
- Regardez depuis le bureau, sous un angle rasant, à la verticale, ou orbitez librement autour de la scène
- Enregistrez un tracé terminé dans le tableau, puis changez les vitesses et enregistrez-en un autre
Ce qu’il faut observer
- L'angle mesuré sur l'encre tracée et celui prédit par arctan(v_papier / v_stylo) coïncident jusqu'à la dernière décimale affichée
- Les repères le long du trait sont régulièrement espacés, tout comme ceux des deux côtés du triangle — chaque partie du mouvement est uniforme
- Le côté bleu est le trajet que le stylo a réellement suivi dans la pièce : parfaitement droit le long de la règle, sans la moindre obliquité
- La longueur du trait vaut toujours √(x² + y²), soit la vitesse résultante multipliée par le temps écoulé
- Maintenez une vitesse à zéro et le trait file tout droit en travers ou tout droit en long ; l'obliquité n'apparaît que lorsque les deux mouvements tournent ensemble
- Déplacez un curseur en cours de tracé et le trait se casse exactement en ce point, puis repart droit sous le nouvel angle
La physique derrière
Les deux mouvements sont indépendants : le stylo parcourt la même distance sur la feuille que celle-ci file ou reste immobile, et réciproquement. Après un temps t le stylo a avancé de x = v_stylo·t sur le papier et le papier de y = v_papier·t, si bien que le point de contact a tracé, dans le référentiel du papier, une droite de longueur √(x² + y²) faisant avec la direction du stylo un angle θ tel que tan θ = y/x = v_papier / v_stylo. La vitesse du stylo par rapport au papier vaut donc √(v_stylo² + v_papier²) — supérieure à chacun des deux mouvements pris seul — et comme le rapport des vitesses est constant tant qu'elles le sont, l'angle est constant et la marque est droite. Changez une vitesse en cours de route et le trait se brise à cet instant, car l'obliquité ne rapporte que le rapport des deux vitesses au moment où l'encre a été déposée. C'est l'addition vectorielle des vitesses dans sa forme la plus dépouillée, et la même construction que celle qui donne sa dérive à un bateau traversant une rivière, ou sa trajectoire sol à un avion par vent traversier.