From Stick to Bounce — the Coefficient of Restitution
Deux billes de même taille reposent dans une rainure droite sur une paillasse de laboratoire. La bille A glisse sans rouler depuis la gauche vers la bille B, qui peut rester immobile, glisser vers A ou filer devant elle. Cinq curseurs règlent les deux masses, les deux vitesses et le coefficient de restitution e, et, avec lui, la matière des billes : pâte à modeler mate pour e = 0, caoutchouc au milieu, acier poli pour e = 1. Des flèches indiquent la vitesse de chaque bille, un crochet devant la rainure montre à quelle vitesse l'écart entre elles se referme puis se rouvre, et un graphique suit l'énergie cinétique perdue pour chaque valeur de e. Appuyez sur lecture et le choc est joué une seule fois, huit fois plus lentement que dans la réalité et plus lentement encore avec les boutons de vitesse ; la ligne de temps ramène à n'importe quel instant.
Comment utiliser cette simulation
- Masse de A, mA — de 0,5 à 3,0 kg, au départ 1,0 kg.
- Vitesse de A, vA — de +1,0 à +6,0 m/s (vers la droite), au départ +4,0 m/s.
- Masse de B, mB — de 0,5 à 3,0 kg, au départ 1,5 kg.
- Vitesse de B, vB — de −4,0 à +2,0 m/s, au départ 0 (immobile) ; négative signifie vers la gauche, vers A.
- Coefficient de restitution e — de 0 (les billes restent collées) à 1 (parfaitement élastique), au départ 0,25 ; la matière des billes change avec lui. Un réglage laisse la ligne de temps où elle est.
- Lecture/pause, retour au début, une ligne de temps que l'on peut faire glisser jusqu'à n'importe quel instant, et ralenti ½×, ¼×, ⅛×. À 1×, le choc tourne déjà huit fois plus lentement que dans la réalité ; ⅛× montre donc la compression 64 fois plus lentement.
- Faites glisser sur la scène pour regarder autour.
Ce qu’il faut observer
- Avec les valeurs de départ, l'écart se referme à 4,0 m/s et se rouvre à 1,0 m/s ; A repart à +1,0 m/s et B à +2,0 m/s, et 4,5 J sur 8,0 J sont perdus.
- Pour e = 0, les billes de pâte restent collées et repartent ensemble à 1,6 m/s, en perdant 4,8 J, le maximum possible pour ce choc.
- Pour e = 1, A rebondit à −0,80 m/s et B part à +3,2 m/s ; les 8,0 J d'énergie cinétique sont toujours là.
- Lancez B vers A à −2,0 m/s : elles se rapprochent maintenant à 6,0 m/s, A rebondit à −0,50 m/s et 10,1 J sur 11 J sont perdus ; pourtant, la quantité de mouvement vaut +1,0 kg m/s avant et après.
- À ⅛×, observez la compression : le méplat qui reste sur chaque bille rétrécit quand e augmente (la pâte reste marquée, l'acier redevient parfaitement rond) et le point du graphique suit la courbe ½μ(vA − vB)²(1 − e²).
- Réglez vA en dessous de vB : la fiche indique qu'il n'y a pas de choc ; A ne rattrape jamais B et rien n'est perdu.
- Faites glisser la ligne de temps à travers le contact : les billes s'aplatissent tant que l'écart est fermé et, à la compression maximale, elles ont un instant la même vitesse.
La physique derrière
Prenez la droite comme sens positif. La conservation de la quantité de mouvement ne suffit pas à trouver deux vitesses inconnues ; on ajoute donc une seconde équation, celle de la restitution, v′A − v′B = −e(vA − vB) : les billes se rapprochent à vA − vB et s'écartent à e fois cette vitesse. Avec les valeurs de départ (1,0 kg à +4,0 m/s contre 1,5 kg immobile, e = 0,25), la résoudre avec 1,0 × 4,0 = 1,0 v′A + 1,5 v′B donne v′A = +1,0 m/s et v′B = +2,0 m/s. L'énergie cinétique tombe de 8,0 J à 0,5 + 3,0 = 3,5 J : 4,5 J sont perdus. Dans le modèle, les billes comprimées emmagasinent toute l'énergie cinétique relative, ½μ(vA − vB)² avec μ = mA mB/(mA + mB), et n'en rendent que la fraction e², si bien que la perte vaut ½μ(vA − vB)²(1 − e²) : 4,8 J pour e = 0, quand les billes de pâte restent collées et repartent à 1,6 m/s, et rien pour e = 1, quand A rebondit à 0,80 m/s et que B part à 3,2 m/s. Les masses et les vitesses fixent l'énergie qu'il y a à perdre ; e seul fixe la part perdue. La quantité de mouvement est la même avant et après quel que soit le réglage, et si A n'est pas plus rapide que B, l'écart ne se referme jamais et il n'y a pas de choc.