Combining Two Perpendicular Motions
يُمرَّر قلم في خط مستقيم على ورقة بمحاذاة مسطرة، بينما تُسحب الورقة نفسها في اتجاه عمودي على حركته. لا تتحرك أيٌّ من اليدين في اتجاه مائل، ومع ذلك يخرج الخط المتروك على الورق مائلًا. ترسم المحاكاة الخط وهو يتكوّن، وتضع عليه علامات عند فترات زمنية متساوية، وتفرد الحركتين كضلعَي مثلث قائم الزاوية وترُه هو الخط نفسه.
كيف تستخدم هذه المحاكاة
- اضبط سرعة القلم على الورقة وسرعة سحب الورقة — وتبقى الاثنتان قابلتين للتغيير أثناء التشغيل
- ابدأ التشغيل أو أوقفه مؤقتًا أو أعده، أو شغّله بنصف السرعة أو السرعة العادية أو ضِعفها
- أظهر أو أخفِ متجهات السرعة ومثلث الإزاحة وعلامات التوقيت وتخطيط الرسم البياني
- شاهد من المكتب أو من زاوية منخفضة أو من أعلى مباشرة، أو در حول المشهد بحرية
- سجّل تشغيلًا مكتملًا في الجدول، ثم غيّر السرعتين وسجّل تشغيلًا آخر
ما الذي تلاحظه
- الزاوية المقيسة على الحبر المرسوم والزاوية المتوقعة من arctan(v_ورقة / v_قلم) تتطابقان حتى آخر منزلة عشرية معروضة
- العلامات على امتداد الخط متساوية التباعد، وكذلك العلامات على ضلعَي المثلث — فكل جزء من الحركة منتظم
- الضلع الأزرق هو المسار الذي سلكه القلم فعلًا في الغرفة: مستقيم تمامًا بمحاذاة المسطرة دون أي ميل
- طول الخط يساوي دائمًا √(x² + y²)، وهو السرعة المحصلة مضروبة في الزمن المنقضي
- ثبّت إحدى السرعتين عند الصفر يخرج الخط مستقيمًا عرضًا أو مستقيمًا طولًا؛ ولا يظهر الميل إلا حين تعمل الحركتان معًا
- حرّك أحد المنزلقات في منتصف التشغيل ينكسر الخط عند تلك النقطة بالضبط، ثم يستمر مستقيمًا بالزاوية الجديدة
الفيزياء وراءها
الحركتان مستقلتان: يقطع القلم المسافة نفسها على الورقة سواء انطلقت الورقة أم بقيت ساكنة، والعكس كذلك. بعد زمن t يكون القلم قد تحرّك x = v_قلم·t على الورق وتكون الورقة قد تحركت y = v_ورقة·t بمحاذاته، فتكون نقطة التلامس قد رسمت — في إطار الورقة نفسها — خطًا مستقيمًا طوله √(x² + y²) يميل عن اتجاه القلم بزاوية θ حيث tan θ = y/x = v_ورقة / v_قلم. ومن ثم تكون سرعة القلم بالنسبة للورقة √(v_قلم² + v_ورقة²) — أكبر من أيٍّ من الحركتين منفردة — ولأن نسبة السرعتين ثابتة ما دامتا ثابتتين، تبقى الزاوية ثابتة ويخرج الأثر مستقيمًا. غيّر إحدى السرعتين في منتصف الطريق ينكسر الخط عند تلك اللحظة بالذات، لأن الميل لا يحكي إلا نسبة السرعتين في اللحظة التي وُضِع فيها الحبر. هذا هو الجمع المتجهي للسرعات في أبسط صوره، وهو البناء نفسه الذي يعطي قاربًا يعبر نهرًا انحرافه، أو طائرةً مسارها الأرضي في ريح عرضية.