Hanging the Voltmeter — Potential Difference by Kirchhoff
Eine graue Schaltungsplatte auf einem Labortisch trägt zwei verschlossene Bleiakkus, acht goldene Leistungswiderstände und ein LED-Amperemeter, verdrahtet als zwei Maschen und dazu zwei parallele Wege, die sich im Punkt Y treffen – und Y ist über ein grün-gelbes Kabel mit einer Erdungsklemme verbunden. Auf dem Tisch liegt ein Handmultimeter mit seinen zwei Prüfspitzen. Schieberegler stellen beide Akkus und zwei der Widerstände ein, und die Schaltung wird bei jeder Änderung sofort exakt gelöst. Drücke ▶: Mit den Spitzen an A und B läuft eine Probeladung auf dem langen Weg von A nach B unter einem Potentialzaun; dann wandern die Spitzen zu X und zur Erdungsklemme, und ein zweiter Gang führt von Y hinaus nach X. Die Gänge laufen einmal ab und halten an, und die Zeitleiste führt zu jedem beliebigen Moment zurück.
So benutzt du diese Simulation
- Vorderer Akku (V_B)₁ – 0 bis 40 V, Startwert 30 V.
- Hinterer Akku (V_B)₂ – 0 bis 40 V, Startwert 20 V.
- Mittlerer Widerstand R_mid – 1 bis 20 Ω, Startwert 10 Ω.
- Linker Widerstand R_left – 1 bis 30 Ω, Startwert 12 Ω. Jede Änderung löst die Schaltung neu und behält den angezeigten Moment bei; nichts bewegt sich, bevor du ▶ drückst.
- Abspielen/Pause, zurück zum Anfang, eine Zeitleiste, die du zu jedem Moment ziehen kannst, und Zeitlupe ½×, ¼×, ⅛×.
- Ziehe irgendwo in der Szene, um dich umzusehen.
Worauf du achten solltest
- Bei den Startwerten zeigt das Multimeter 0,800 V zwischen A und B, und das Amperemeter zeigt −0,800 A: Der Strom fließt gegen seinen aufgedruckten Pfeil.
- Folge Gang 1: Der Zaun steigt von A nach Y im 2-Ω-Widerstand um 0,80 V und fällt von Y nach B im 8-Ω-Widerstand um 1,60 V – die 0,80 V des Messgeräts bringen ihn genau nach A zurück.
- In Gang 2 klettert der Zaun im 7-Ω-Widerstand um 5,60 V, weil gegen den Strom gegangen wird, fällt dann im Akku um 30 V und gewinnt in seinem 1 Ω 0,80 V zurück: X endet 26 V unter der Erde.
- Stelle den hinteren Akku auf 0 V und den vorderen auf 40 V: Der Strom in den parallelen Wegen kehrt sich um, ihre Pfeile drehen sich, und A liegt tiefer als B.
- Wie auch immer die Regler stehen, V_AB beträgt 4/3 von I₂ (in Volt pro Ampere): Es hängt nur vom Strom ab, der in die beiden parallelen Wege fließt.
Die Physik dahinter
Sobald die kirchhoffschen Gesetze alle Ströme geliefert haben, folgt die Potentialdifferenz zwischen zwei beliebigen Punkten aus der Maschenregel. Man hängt ein Voltmeter zwischen die beiden Punkte und behandelt seine Anzeige als einen weiteren Term einer Masche, die durch die Schaltung von einer Spitze zur anderen läuft und durch das Messgerät zurückkehrt: Alle Anstiege und Abfälle dieser Masche müssen sich aufheben. Mit den Akkus von 30 V und 20 V (jeder mit 1 Ω Innenwiderstand) sind die Ströme I₁ = −0,8 A – das Amperemeter zeigt gegen seinen aufgedruckten Pfeil –, I₂ = 0,6 A und I₃ = 1,4 A. In den beiden parallelen Wegen teilt sich I₂ umgekehrt proportional zu ihren Widerständen auf: 0,4 A durch den 6-Ω-Weg und 0,2 A durch den 12-Ω-Weg. Von A durch den 2-Ω-Widerstand gegen seine 0,4 A zu gehen, hebt das Potential um 0,8 V; von Y weiter durch den 8-Ω-Widerstand mit seinen 0,2 A senkt es um 1,6 V. Die Rückkehr nach A durch das Messgerät muss die netto −0,8 V aufheben, also 0 = 0,4 × 2 + V_AB − 0,2 × 8 und V_AB = 0,8 V. Das Potential eines Punktes ist seine Potentialdifferenz zur Erde, die als null gilt: Mit der schwarzen Spitze an der Erdungsklemme zeigt das Messgerät direkt V_X. Der Gang von Y durch die Widerstände 8 Ω und 4 Ω mit dem Strom, durch 7 Ω gegen ihn und durch den 30-V-Akku von + nach − liefert −30 = V_XY + 0,2 × (8 + 4) − 0,8 × (7 + 1), also V_X = −26 V. Der Weg spielt keine Rolle: Jeder Weg zwischen denselben zwei Punkten liefert dasselbe Ergebnis, denn jede geschlossene Masche ergibt in der Summe null.