The Unbalanced Bridge — Equivalent Resistance by Kirchhoff
Fünf Leistungswiderstände bilden eine Brücke zwischen zwei Polklemmen, a und d, und ein fünfter Widerstand verbindet in der Mitte b mit c. Eine 13-V-Batterie speist die Brücke über einen Messerschalter und ein Einbau-Amperemeter, und ein Multimeter ist zwischen a und d geklemmt. Weil Strom durch die Mitte fließen kann, sind die fünf Widerstände weder in Reihe noch parallel geschaltet, und die üblichen Regeln lassen sich nicht anwenden. Drücken Sie auf Abspielen: Die Klinge senkt sich, der Strom setzt ein, und die beiden Messgeräte zeigen die Spannung an der Brücke und den Strom, den die Batterie liefert. Ihr Verhältnis ist der Ersatzwiderstand R′, der einzelne Widerstand, der der Batterie denselben Strom entnehmen würde.
So benutzt du diese Simulation
- Batterie V_B: 1 bis 20 V, Startwert 13 V. Sie ändert alle Ströme im gleichen Verhältnis und lässt R′ unverändert.
- Oben links R_ab (von a nach b): 0,5 bis 5 Ω, Startwert 1 Ω.
- Oben rechts R_ac (von a nach c): 0,5 bis 5 Ω, Startwert 1 Ω.
- Quer durch die Mitte R_bc: 0,5 bis 5 Ω, Startwert 1 Ω; sein Strom I₃ fließt durch ein zweites Amperemeter.
- Unten links R_bd (von b nach d): 0,5 bis 5 Ω, Startwert 1 Ω.
- Unten rechts R_cd (von c nach d): 0,5 bis 5 Ω, Startwert 2 Ω.
- Abspielen/Pause, zurück zum Anfang, eine Zeitleiste, die sich zu jedem beliebigen Moment ziehen lässt, und Zeitlupe ½×, ¼×, ⅛×. Der Schalter schließt 1 s nach Beginn einer 6 s langen Zeitleiste.
- Ziehen Sie auf der Szene, um sich umzusehen.
Worauf du achten solltest
- Bevor der Schalter schließt, fließt nichts: Beide Amperemeter und das Multimeter zeigen 0, und für V_B / I gibt es keinen Strom, durch den man teilen könnte.
- Bei den Startwerten zeigt das Batterie-Amperemeter 11,00 A und das Multimeter 13,00 V: R′ = 13/11 = 1,18 Ω. Das Amperemeter in der Mitte zeigt +1,000 A in Pfeilrichtung, von c nach b.
- In a teilen sich die 11 A in 6 A nach b und 5 A nach c; in b kommt 1 A aus der Mitte hinzu, also fließen 7 A weiter nach d, während c nur 4 A nach d verlassen.
- Stellen Sie den Widerstand unten rechts auf 1 Ω: Die Verhältnisse stimmen überein, das mittlere Amperemeter fällt auf 0, und R′ = (1 + 1) ∥ (1 + 1) = 1 Ω, genau was Reihen- und Parallelschaltung ergeben. Bei 0,5 Ω kehrt sich der Strom in der Mitte um, und das Messgerät zeigt einen negativen Wert.
- Eine andere Spannung V_B ändert alle Ströme im gleichen Verhältnis, aber nicht R′: Bei 20 V liefert die Batterie 16,92 A, und R′ bleibt 1,18 Ω.
- R′ liegt immer zwischen 1,167 Ω (Mitte durch einen einfachen Draht ersetzt) und 1,200 Ω (Mitte aufgetrennt); ein größeres R_bc rückt es näher an den zweiten Wert.
Die Physik dahinter
Kirchhoffs Knotenregel steckt in den Namen der Ströme: I₂ verlässt a in Richtung b und I₁ in Richtung c, I₃ fließt durch die Mitte von c nach b, also führt b → d den Strom I₂ + I₃ und c → d den Strom I₁ − I₃. Drei Maschen liefern dann drei Gleichungen (ΣV_B = ΣIR). Um das obere Dreieck: I₁ − I₂ + I₃ = 0. Um das untere Dreieck: 2I₁ − I₂ − 4I₃ = 0. Um die Masche mit der Batterie: 2I₂ + I₃ = 13. Die Lösung ist I₁ = 5 A, I₂ = 6 A und I₃ = 1 A, alle positiv, also stimmt jede angenommene Richtung. Die Batterie liefert I = I₁ + I₂ = 11 A, also R′ = V_B / I = 13/11 = 1,18 Ω. Die Energie bestätigt das Ergebnis: Die Batterie gibt V_B I = 143 W ab, und die fünf Widerstände wandeln 25 + 36 + 1 + 49 + 32 = 143 W in Wärme um, genauso viel wie I²R′. Der Strom in der Mitte fließt, weil c um 1 V höher liegt als b. Ist R_ab/R_bd = R_ac/R_cd, liegen b und c auf demselben Potenzial, durch die Mitte fließt nichts, und die Brücke ist abgeglichen: Dann funktionieren Reihen- und Parallelschaltung wieder.