Three Loops — Kirchhoff on a Star of Resistors
Zwei 80-V-Bleiakkus stehen hintereinander an der linken Seite einer Schaltungsplatte und treiben beide in dieselbe Richtung. Von ihnen gehen sechs 150-W-Leistungswiderstände aus: 20 Ω entlang der Oberseite, 20 Ω entlang der Unterseite, 20 Ω durch die Mitte zu einem Sternpunkt O, 30 Ω in jedem Arm des Sterns und 30 Ω an der rechten Seite. Amperemeter messen die Ströme oben, rechts und unten, und ein Multimeter ist an den mittleren Widerstand geklemmt. Drücken Sie auf Abspielen: Eine Probeladung läuft nacheinander die drei Maschen ab, während ein Zaun über den Drähten mit dem Potential steigt und fällt. Vier Schieberegler stellen die beiden Akkus, den mittleren und den rechten Widerstand ein.
So benutzt du diese Simulation
- (V_B)₁, oberer Akku: 0 bis 100 V, Start bei 80 V.
- (V_B)₂, unterer Akku: 0 bis 100 V, Start bei 80 V.
- R_eO, mittlerer Widerstand: 5 bis 40 Ω, Start bei 20 Ω.
- R_bc, rechter Widerstand: 10 bis 60 Ω, Start bei 30 Ω. Die übrigen vier Widerstände behalten ihre aufgedruckten Werte; jede Änderung löst die Schaltung neu und lässt die Zeitleiste, wo sie ist.
- Abspielen/Pause, zurück zum Anfang, eine Zeitleiste, die sich zu jedem beliebigen Moment ziehen lässt, und Zeitlupe ½×, ¼×, ⅛×.
- Ziehen Sie auf der Szene, um sich umzusehen.
Worauf du achten solltest
- Mit den Startwerten zeigen die Amperemeter 2,667 A, 1,778 A und 2,667 A, also die Brüche 8/3, 16/9 und 8/3; der mittlere Zweig zeigt keinen Pfeil und keine bewegte Ladung, und das Multimeter zeigt 0,000 V.
- Beim Umlauf der Masche 1 bleibt der Zaun über dem mittleren Widerstand völlig waagerecht: e und O liegen auf demselben Potential, 80 V über d.
- Lassen Sie die beiden Akkus gleich und stellen Sie R_eO oder R_bc beliebig ein: Der mittlere Strom bleibt null.
- Drehen Sie den oberen Akku auf 0 V herunter: Jetzt fließen 8/9 A von e nach O, und das Multimeter zeigt −17,78 V. Machen Sie den oberen Akku zum stärkeren, und dieser Strom kehrt sich um.
- Masche 3 enthält keinen Akku: Die beiden Anstiege um 26,67 V in den Sternarmen werden vom Abfall um 53,33 V an R_bc genau ausgeglichen.
- Leistung: 80 × 8/3 + 80 × 8/3 = 426,7 W geliefert, und genau so viel wird in den sechs Widerständen zu Wärme.
Die Physik dahinter
Nur drei Ströme brauchen einen Namen: I₁ oben (von a nach b), I₂ rechts (von b nach c) und I₃ unten (von c nach d). Die Knotenregel liefert alle übrigen Zweige: I₃ − I₁ durch die Mitte von e nach O, I₁ − I₂ im oberen Sternarm von b nach O und I₂ − I₃ im unteren Arm von c nach O. Eine Gleichung je Masche, im Uhrzeigersinn umlaufen: 80 = 20(I₃ − I₁) − 30(I₂ − I₃) + 20 I₃ für die untere linke Masche, 80 = 20 I₁ + 30(I₁ − I₂) − 20(I₃ − I₁) für die obere Masche und 0 = −30(I₁ − I₂) + 30 I₂ + 30(I₂ − I₃) für das Sterndreieck, das keinen Akku enthält. Die Lösung lautet I₁ = 8/3 A, I₂ = 16/9 A und I₃ = 8/3 A – der mittlere Strom I₃ − I₁ ist also null. Der Grund ist die Symmetrie: Mit gleichen Akkus ist die Schaltung ihr eigenes Spiegelbild von oben nach unten, deshalb liegt der Sternpunkt O genau auf dem Potential von e (80 V über d), und nichts treibt Ladung durch den mittleren Widerstand, welchen Wert er auch hat. Im unteren Arm gilt I₂ − I₃ = −8/9 A: Das Minuszeichen bedeutet nur, dass dieser Strom tatsächlich von O nach c fließt. Die Energiebilanz stimmt: 80 × 8/3 + 80 × 8/3 = 1280/3 ≈ 426,7 W werden geliefert und in Wärme umgesetzt.