Combining Two Perpendicular Motions
Ein Stift wird an einem Lineal entlang schnurgerade über ein Blatt Papier geführt, während das Blatt selbst rechtwinklig dazu weggezogen wird. Keine der beiden Hände bewegt sich schräg, und dennoch ist die Linie auf dem Papier schräg. Die Simulation zeichnet die Linie im Entstehen, markiert sie in gleichen Zeitabständen und legt die beiden Bewegungen als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks aus, dessen Hypotenuse die Linie selbst ist.
So benutzt du diese Simulation
- Legen Sie die Geschwindigkeit des Stifts über das Blatt und die des weggezogenen Blattes fest — beide bleiben während eines Laufs veränderbar
- Starten, pausieren und setzen Sie den Lauf zurück oder spielen Sie ihn in halber, normaler oder doppelter Geschwindigkeit ab
- Blenden Sie Geschwindigkeitsvektoren, Verschiebungsdreieck, Zeitmarken und Diagrammraster ein oder aus
- Betrachten Sie die Szene vom Schreibtisch, aus flachem Winkel, von oben oder in freier Umlaufbahn
- Tragen Sie einen abgeschlossenen Lauf in die Tabelle ein, ändern Sie dann die Geschwindigkeiten und tragen Sie einen weiteren ein
Worauf du achten solltest
- Der an der gezogenen Tinte gemessene Winkel und der aus arctan(v_Papier / v_Stift) vorhergesagte stimmen bis zur letzten angezeigten Dezimale überein
- Die Marken entlang der Linie liegen gleichmäßig, ebenso die auf beiden Katheten — jeder Teil der Bewegung ist gleichförmig
- Die blaue Kathete ist der Weg, den der Stift tatsächlich im Raum genommen hat: schnurgerade am Lineal entlang, ohne jede Schräge
- Die Länge der Linie ist stets √(x² + y²), also die resultierende Geschwindigkeit mal der verstrichenen Zeit
- Halten Sie eine Geschwindigkeit auf null, und die Linie läuft schnurgerade quer oder schnurgerade längs; die Schräge erscheint erst, wenn beide Bewegungen zusammenlaufen
- Verschieben Sie einen Regler mitten im Lauf, und die Linie knickt genau an dieser Stelle und läuft dann unter dem neuen Winkel gerade weiter
Die Physik dahinter
Die beiden Bewegungen sind unabhängig: Der Stift legt auf dem Blatt dieselbe Strecke zurück, ob das Blatt davonrast oder stillsteht, und umgekehrt ebenso. Nach der Zeit t ist der Stift um x = v_Stift·t über das Papier gewandert und das Papier um y = v_Papier·t weitergezogen, sodass der Berührpunkt im Bezugssystem des Papiers eine Gerade der Länge √(x² + y²) gezogen hat, unter einem Winkel θ zur Stiftrichtung mit tan θ = y/x = v_Papier / v_Stift. Die Geschwindigkeit des Stifts gegenüber dem Papier beträgt daher √(v_Stift² + v_Papier²) — größer als jede der beiden Bewegungen allein —, und da das Verhältnis der Geschwindigkeiten konstant ist, solange sie es sind, bleibt der Winkel konstant und die Spur gerade. Ändert man eine Geschwindigkeit mittendrin, knickt die Linie genau dort ab, denn die Schräge gibt stets nur das Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten im Augenblick des Tintenauftrags wieder. Das ist Vektoraddition von Geschwindigkeiten in ihrer schlichtesten Form — dieselbe Konstruktion, die einem Boot beim Queren eines Flusses seine Abdrift und einem Flugzeug bei Seitenwind seine Bahn über Grund gibt.