The Rocket in Empty Space
Eine kleine Rakete schwebt im tiefen Weltraum ruhig neben einem Satelliten, wo es nichts gibt, wogegen sie drücken könnte. Sie verbrennt ihren Treibstoff in einzelnen Stößen heißen Gases, die jeweils mit der Geschwindigkeit u relativ zur Rakete nach hinten ausgestoßen werden. Vier Schieberegler stellen die Ausströmgeschwindigkeit, die Treibstoffmasse, die Größe jedes Stoßes und die Leermasse der Rakete ein. Drücken Sie Abspielen, um die Stöße einen nach dem anderen austreten zu sehen, bis der Treibstoff verbraucht ist, und lesen Sie die beiden Impulsbalken: Der der Rakete und der des Gases wachsen gemeinsam, gleich groß und entgegengesetzt, und ihre Summe bleibt immer null. Ziehen Sie die Zeitleiste zu jedem Moment der Brennphase. Die zurückgelegten Strecken sind 600-mal kürzer gezeichnet, damit die Rakete im Bild bleibt; alle Zahlen sind echt.
So benutzt du diese Simulation
- Ausströmgeschwindigkeit u — 200 bis 3000 m/s, Start bei 2000 m/s: wie schnell jeder Stoß relativ zur Rakete austritt.
- Treibstoffmasse — 5 bis 40 kg, Start bei 20 kg.
- Stoßgröße Δm — 0,5 bis 5 kg, Start bei 1,0 kg; geht der Treibstoff nicht genau auf, verbrennt ein letzter, kleinerer Stoß den Rest.
- Leermasse der Rakete — 40 bis 150 kg, Start bei 80 kg. Die Rakete wird bei größerer Gesamtmasse größer gezeichnet, und eine Änderung lässt die Zeitleiste, wo sie ist.
- Abspielen/Pause, zurück zum Anfang, eine Zeitleiste, die sich zu jedem beliebigen Moment ziehen lässt, und Zeitlupe ½×, ¼×, ⅛×.
- Ziehen Sie auf der Szene, um sich umzusehen.
Worauf du achten solltest
- Der Gesamtimpuls zeigt in jedem Moment 0: in Ruhe, nach jedem Stoß und während die Rakete antriebslos weiterfliegt.
- Mit den Startwerten endet die Rakete bei 443,8 m/s und trägt +35 504 kg·m/s; die 20 kg Gas tragen −35 504 kg·m/s.
- Jeder Stoß fliegt viel schneller nach hinten, als sich die Rakete je nach vorn bewegt, von 1980 m/s beim ersten bis 1556 m/s beim letzten: 20 kg schnelles Gas gleichen 80 kg langsame Rakete aus.
- Halbieren Sie die Ausströmgeschwindigkeit auf 1000 m/s, und die Endgeschwindigkeit halbiert sich auf 221,9 m/s. Mit 40 kg Treibstoff erreicht die Rakete 806,8 m/s; eine 150 kg schwere leere Rakete nur 249,5 m/s.
- Spätere Stöße bringen mehr Geschwindigkeit als frühe, 20,0 m/s der erste und 24,7 m/s der letzte; vierzig Stöße zu 0,5 kg ergeben 445,0 m/s, vier Stöße zu 5 kg nur 434,0 m/s.
Die Physik dahinter
Betrachten Sie die Rakete und ihr gesamtes ausgestoßenes Gas als ein System. Ohne Schwerkraft und Luft wirkt nichts von außen, also bleibt der Gesamtimpuls bei der anfänglichen 0: Δp Rakete = −Δp Gas. Jeder Stoß der Masse Δm verlässt die Rakete mit der Geschwindigkeit v′ − u, wobei v′ die Geschwindigkeit der Rakete direkt nach der Trennung ist. Die Impulserhaltung für diesen Stoß, m v = (m − Δm) v′ + Δm (v′ − u), ergibt v′ = v + Δm·u/m: Jeder Stoß bringt etwas mehr Geschwindigkeit als der vorige, weil die Rakete, die er anschiebt, leichter ist. Mit 20 kg Treibstoff in zwanzig Stößen zu 1 kg und einer Leermasse von 80 kg gilt v = u(1/100 + 1/99 + … + 1/81) = 0,2219u: 443,8 m/s für u = 2000 m/s, mit +35 504 kg·m/s in der Rakete und −35 504 kg·m/s im Gas. Kleinere Stöße kommen einer gleichmäßigen Verbrennung näher, u ln(100/80) = 446,3 m/s. Die Rakete drückt das Gas und das Gas drückt die Rakete; ein Start vom Boden braucht zusätzlich eine Schubkraft, die größer ist als das Gewicht.