Eulersche Formel interaktiv
Die Eulersche Formel verbindet Exponentialfunktion, komplexe Zahlen und Trigonometrie in einer einzigen Zeile. Diese Simulation zeigt warum: Während der Winkel fortschreitet, wandert der Punkt e^(iθ) auf dem Einheitskreis, und sein Schatten auf jeder Achse zeichnet einen Kosinus und einen Sinus.
So benutzt du diese Simulation
- Lassen Sie den Winkel θ fortschreiten und beobachten Sie den Punkt wandern
- Projizieren Sie auf die reelle und die imaginäre Achse
- Blenden Sie die entstehenden Sinus- und Kosinuskurven ein
Worauf du achten solltest
- Der Punkt verlässt den Einheitskreis nie, denn sein Betrag ist stets 1
- Sein waagerechter Schatten zeichnet einen Kosinus, der senkrechte einen Sinus
- Bei θ = π landet der Punkt genau auf −1
Die Physik dahinter
Die Eulersche Formel besagt e^(iθ) = cos θ + i·sin θ. Eine Multiplikation mit e^(iθ) ist eine Drehung um θ in der komplexen Ebene, weshalb sich der Punkt auf dem Einheitskreis bewegt. Für θ = π ergibt sich die berühmte Identität e^(iπ) + 1 = 0, die fünf der wichtigsten Konstanten der Mathematik miteinander verknüpft.